מרוכבים וסדרה חשבונית 1מספרים מרוכבים 572 · שיעור 44

שיעור 44: מרוכבים וסדרה חשבונית 1

מספרים מרוכבים · 5 יחידות · שאלון 572

מספרים מרוכבים · שאלון 572

📄 התרגיל

שאלה מבגרות שמשלבת משוואה ריבועית עם מספרים מרוכבים וסדרה חשבונית שהאיברים שלה מספרים מרוכבים. קודם השאלה המלאה, ואחריה הפתרון סעיף אחרי סעיף 👇

📌 תזכורת – סדרה חשבונית של מספרים מרוכבים

בסדרה חשבונית כל איבר שווה לאיבר הקודם ועוד הפרש קבוע d . זה נכון גם כשהאיברים וההפרש הם מספרים מרוכבים:

a_n = a₁ + (n − 1)d

ההפרש בין שני איברים כלשהם a_m ו־a_k הוא כפולה שלמה של d :

a_m − a_k = (m − k)d

📝 השאלה

א.פתור את המשוואה z² + (−5 + 2i)z + 7 + i = 0 .

נסמן ב־w את פתרון המשוואה מסעיף א, המייצג את הנקודה שקרובה יותר לראשית הצירים.

a_n היא סדרה חשבונית. w הוא איבר בסדרה וגם 1 הוא איבר בסדרה.

ב.(1) הסבר מדוע כל איברי הסדרה הם מן הצורה: a_n = 1 + b · i . b הוא מספר ממשי.

(2) הסבר מדוע כל הנקודות במישור גאוס המייצגות את איברי הסדרה a_n , חוץ מן הנקודה (1 , 0) , נמצאות מחוץ למעגל היחידה.

סעיף א – פתרון המשוואה

פותרים בנוסחת השורשים, עם a = 1 , b = −5 + 2i , c = 7 + i :

z_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

מחשבים את הדיסקרימיננטה:

b² = (−5 + 2i)² = 25 − 20i + 4i² = 21 − 20i

4ac = 4(7 + i) = 28 + 4i

b² − 4ac = 21 − 20i − 28 − 4i = −7 − 24i

מוצאים שורש של −7 − 24i :

מחפשים מספר x + yi כך ש־(x + yi)² = −7 − 24i :

x² − y² + 2xyi = −7 − 24i

משווים חלק ממשי לממשי וחלק מדומה למדומה:

x² − y² = −7

· המשך

x² − y² = −7

2xy = −24

מהמשוואה השנייה y = −12x , מציבים בראשונה:

x² − 144x² = −7

x⁴ + 7x² − 144 = 0

(x² + 16)(x² − 9) = 0

x ממשי, לכן x² = 9 , כלומר x = 3 ו־y = −4 (או x = −3 ו־y = 4 ).

√−7 − 24i = ±(3 − 4i)

בדיקה: (3 − 4i)² = 9 − 24i + 16i² = −7 − 24i ✓

מציבים בנוסחה:

· המשך

מציבים בנוסחה:

z_1,2 = 5 − 2i ± (3 − 4i)2

z₁ = 5 − 2i + 3 − 4i2 = 8 − 6i2 = 4 − 3i

z₂ = 5 − 2i − 3 + 4i2 = 2 + 2i2 = 1 + i

✅

תשובה: z₁ = 4 − 3i
z₂ = 1 + i

מציאת w

המרחק של נקודה מראשית הצירים הוא הערך המוחלט של המספר:

|4 − 3i| = √4² + (−3)² = √25 = 5

|1 + i| = √1² + 1² = √2

√2 < 5 , לכן הנקודה של 1 + i קרובה יותר לראשית.

✅

תשובה: w = 1 + i

סעיף ב (1) – כל האיברים מהצורה 1 + bi

w = 1 + i ו־1 הם שני איברים בסדרה, נניח a_m = 1 + i ו־a_k = 1 ( m ≠ k מספרים טבעיים).

ההפרש ביניהם הוא כפולה שלמה של d :

a_m − a_k = (m − k)d

(1 + i) − 1 = (m − k)d

i = (m − k)d

d = im − k

m − k הוא מספר שלם שונה מאפס, לכן d הוא מספר מדומה טהור: d = t · i , כאשר t = 1m − k ממשי.

כל איבר בסדרה מתקבל מהאיבר a_k = 1 על ידי הוספה (או החסרה) של כפולה שלמה של d :

a_n = a_k + (n − k)d = 1 + (n − k)t · i

נסמן b = (n − k)t – זה מספר ממשי, ולכן:

a_n = 1 + b · i

· המשך

a_n = 1 + b · i

כלומר החלק הממשי של כל איבר הוא 1 , ורק החלק המדומה משתנה.

✅

תשובה: a_n = 1 + b · i , b ממשי, כי ההפרש d מדומה טהור

סעיף ב (2) – מחוץ למעגל היחידה

מעגל היחידה: כל הנקודות שהמרחק שלהן מהראשית הוא 1 ( |z| = 1 ). נקודה נמצאת מחוץ למעגל כאשר |z| > 1 .

לפי סעיף ב (1):

|a_n| = |1 + bi| = √1 + b²

אם b ≠ 0 אז b² > 0 , ולכן:

√1 + b² > √1 = 1

רק כאשר b = 0 מתקבל a_n = 1 , שהוא הנקודה (1 , 0) – והיא נמצאת על מעגל היחידה.

כל שאר האיברים מקיימים |a_n| > 1 , לכן הנקודות שלהם נמצאות מחוץ למעגל היחידה.

✅

תשובה: |a_n| = √1 + b² > 1 לכל b ≠ 0

✅ סיימנו!

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא